قضیه‌ی گودل از جمله عجایب ریاضی است، با وجود ماهیت کاملا فنی این قضیه، مباحثات بسیاری در پی آن شکل گرفت که دامنه‌ی آن‌ها از فلسفه‌ی ذهن و فلسفه‌ی فیزیک تا مجادلات پسامدرن گسترده است. در این نوشتار کوتاه نگاهی به اهمیت این قضیه خواهیم داشت.

اهمیت قضیه‌ی گودل را باید در بستر فکری قرن بیستم فهمید. صدق رازآمیز ریاضی از دوران باستان برای اندیشمندان پرجاذبه بود و بسیاری چون افلاطون این رازآمیزی را بستر بسیار مناسبی برای طرح مباحثات متافیزیکی می‌دیدند. اما این صدق و رازآمیزی در قرن نوزدهم و بیستم به‌شدت مورد حمله قرارگرفت. کشف هندسه‌های نااقلیدسی نقطه‌ی عطف این داستان بود. هندسه‌ی اقلیدسی تا آن زمان هسته‌ی اصلی ریاضی محسوب می‌شد آن‌چنان که وقتی گالیله می‌گفت ریاضیات زبان طبیعت است منظورش هندسه‌ی اقلیدسی بود نه این ریاضیات تحلیلی که برای ما آشنا است و در درس مکانیک تحلیلی از آن استفاده می‌کنیم¹.

همین کشف و لرزیدن جایگاه رفیع و جادویی ریاضی همراه با جو کمابیش تجربه‌گرایانه‌ی قرن نوزدهم و بیستم تلاش‌های بسیاری را برای راززدایی از ریاضی شکل‌داد. فرگه به دنبال بنیادهای منطقی ایمن از تناقض برای ریاضی بود، در پی او راسل نیز به دنبال فروکاستن ریاضی به منطق بود چون منطق به نظرش عینی می‌رسید و ویتگنشتاین و پوزیتیوست‌های منطقی هم‌صدا باهم از صدق تحلیلی ریاضیات دفاع می‌کردند که به طور خلاصه می‌گفت: ریاضیات به همان اندازه درست است که جمله‌ی «همه عذب‌ها مجرداند» درست است².

بازتاب تمام این تلاش‌ها در ریاضی پروژه‌ی صورت‌گرایی هیلبرت بود. تا آن زمان بسیاری از ریاضیدانان متوجه شده‌بودند که تقریبا تمام ریاضیات موجود را می‌توان به نظریه‌ی حساب تحویل کرد. بنابراین پروژه‌ی نهایی از نظر هیلبرت این بود: ابتدا نظریه‌ی حساب را به یک مجموعه قواعد مکانیکی روی رشته‌ای از نمادها تبدیل کنیم (که این نمادها بیانگر اعداد و اعمال و روابط هستند) و سپس اصول موضوعه‌ای کامل برای کار با این رشته نمادها اتخاذ کنیم که بتواند قضایای اصلی را اثبات کند. معنای عبارت «صورت‌گرایی » هم درواقع از همین دیدگاه می‌آید: برای بررسی اثبات‌ها و اعمال ریاضی نباید به هیچ ما به ازای بیرونی برای نمادها متوسل شویم، اثبات‌ها و اعمال ریاضی باید چنان صوری شوند که بدون فهم معنای نمادهای آن هم قابل پیگیری و بررسی باشند. این نگاه یک صورت پخته و فنی از ایده تحلیلی بودن یا قاعده‌بنیاد بودن ریاضی است.

اهمیت قضیه گودل دقیقا در همین برهه‌ی تاریخی است: گودل اثبات می‌کند نظریه‌ی حساب ناتمام است و نمی‌توان تمام حقایق آن را اثبات کرد! اما معنی این جمله چیست؟ از دیدگاه صورت‌گرایی یک جمله راجع به نظریه‌ی حساب در واقع رشته‌ای از نمادهاست، برای مثال عبارت x∃y y>x∀ صرفا چند کاراکتر پشت سر هم است اما می‌توان آن را در نظریه‌ی حساب تعبیر کرد: برای هر عدد طبیعی، یک عدد طبیعی بزرگ‌تر از آن وجود دارد. حالا فرض کنید نظریه‌ی حساب را به اندازه‌ی کافی صوری کنیم، یعنی به هر جمله‌ی آن یک رشته نماد نسبت بدهیم و قواعدی مکانیکی را برای تبدیل یک رشته نماد به یک رشته نماد دیگر داشته باشیم (که نقش استنتاج را بازی کند) هم‌چنین اصول موضوعه (رشته نمادهایی اولیه) را در نظر بگیریم که قضایای اصلی حساب را اثبات کند (به عبارتی به شما اجازه دهد که جمع و ضرب را با این رشته نمادها انجام دهید) آنگاه همیشه یک جمله هست که نه می‌توان آن را اثبات کرد و نه می‌توان نقیض آن را اثبات کرد. با توجه به شرحی که از موقعیت مرکزی نظریه‌ی حساب رفت، می‌توان اهمیت این قضیه را در آن زمان کاملا درک کرد.

در انتها چند نکته را متذکر می‌شوم: اول این که قضیه‌ی گودل محدودیت پروژه‌ی صورت‌گرایی را نشان می‌دهد و الزاما به معنای ناتمامیت ریاضیات یا حتی فیزیک نیست (مگر این که ریاضیات یا فیزیک را کاملا صورت‌گرایانه بفهمیم). دوم این که قضیه‌ی گودل قاطعانه ماشین‌گرایی ذهنی را رد نمی‌کند، به جای آن این ادعای ضعیف‌تر را دارد که «اگر ذهن ماشینی باشد توانایی استدلال کردنش محدود است» و دست آخر این که قضیه‌ی گودل به درد مباحثات پسامدرن و استدلال‌هایی از این جنس که «حقیقت نسبی است» نمی‌خورد، انگیزه‌ی خود گودل به عنوان یک افلاطون‌گرا از اثبات قضیه چیزی از این جنس بود که «حقایق ریاضی چنان عمیق هستند که نمی‌توان آنها را با صورت‌گرایی مکانیکی فهمید».

پانویس‌ها:
1. برای آشنایی بیشتر با اهمیت این کشف، به کتاب «جامعه شناسی اثبات ریاضی» از غلام حسین مقدم حیدری، نشر نی، رجوع کنید.
2. شرحی از دنیای پیش از قضیه گودل در کتاب «ناتمامیت » اثر ربکا گلدستین ذکرشده که به ترجمه‌ی رضا امیر رحیمی توسط انتشارات نیلوفر چاپ شده‌است. با این حال کتاب «فلسفه‌ی تحلیلی چیست » اثر هانس یوهان گلوگ، نسبت تمام این دیدگاه‌ها را با جستارهای فلسفی صاحبان‌شان آشکار می‌کند، این کتاب نیز به ترجمه‌ی یاسر خوش‌نویس توسط انتشارات ترجمان چاپ شده‌است.

اگر نظر یا پیشنهادی درمورد این متن دارید می‌توانید کمی پایین‌تر، در قسمت دیدگاه‌ها، آن را برای ما بنویسید.